第九章 电磁感应与电磁场理论

电磁感应现象

当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时,闭合导体回路就会出现电流.

感应电流

电磁感应所产生的电流

感应电动势

电磁感应回路中的电动势 (electromotive force, abbr. EMF)

产生感应电流的几种情况 => 变化的磁通量 => 电磁感应产生电流

感生电场

无论是否有导体存在,变化磁场总是在空间中激发感生电场.

感生电动势

感生 (induced) 电场引起的感应电动势. 在导线 a-b 上有: \[\epsilon_{\text{i}} = \int_a^b \vec{E}_{\text{i}}\cdot \mathrm{d}\vec{l}\] 闭合回路上有: \[\epsilon_{\text{i}} = \oint_L \vec{E}_{\text{i}}\cdot \mathrm{d}\vec{l}\] 环流 不为零.

由法拉第电磁感应定律可知 \[\epsilon_{\text{i}} = - \frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}\] 假设回路静止, 则形状面积不随时间变化, 有 \[ \epsilon_{\text{i}} = \oint_L \vec{E}_{\text{i}}\cdot \mathrm{d}\vec{l} = -\int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d} \vec{S}\]

环路绕向与面积的法向成右手螺旋关系.

感生电场为无源有旋场(闭合曲面通量为零,闭合曲线环流不为零).

自感现象

回路 本身电流 产生的磁通量发生变化, 而在自己回路中激起感应电动势的现象.

自感电动势

自感现象相应的电动势 \[\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\rightarrow \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\rightarrow \epsilon_L\] 自感电动势起到了阻碍回路磁通变化(即电流变化)的作用.

自感系数 \( L \)

描述磁通与电流关系的量.

假设空间中无铁磁质, 回路形状, 大小, 位置和周围磁介质不变, 根据 BS 定律, \(B\propto I\), 故通过回路回路磁通量也与电流成 线性 关系: \[\Phi_N = L I\] 其中 \(L\) 取决于线圈形状、大小、匝数与周围磁介质分布.

由法拉第电磁感应定律: \[\epsilon_L = - L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\] 负号表示楞次定律.

互感现象

由于一个载流回路中电流变化引起邻近另一回路中产生感生电动势的现象

互感电动势

互感现象所产生的电动势.

互感系数 \(M\)

与两个耦合回路的形状, 大小, 匝数, 相对位置及周围磁介质的磁导率有关.

由法拉第电磁感应定律, 互感电动势有: \[ \epsilon_{21} = -M \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} ;\ \epsilon_{12} = -M \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}\]

互感系数与自感系数有: \[ M = k \sqrt{L_1 L_2}\ (0 \le k\le 1) \] 其中

耦合因数 \(k\)

视两回路之间的磁耦合情况而定.

磁场能量 \(W_m\)

\[ W_m = \frac{1}{2} L I_0^2 \] \(I_0\) 为回路电流稳定值.

• 自感线圈磁能和磁场之间的关系: \[ W_m = \iiint_V w_m \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H}\mathrm{d}V \] 其中

  磁场能量密度 \(w_m\)

  \[ w_m = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H} = \frac{\mathrm{d}W_m}{\mathrm{d}V}\]

  类比 \[ W_e = \iiint_V w_e \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}\mathrm{d}V \]

• 互感磁能: \[W_m = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^k L_i I_i^2 + \frac{1}{2}\sum_{i,j= 1}^k M_{ij}I_i I_j\] 右式为二次型.

设两条电流 \(I_1\), \(I_2\) 分别产生磁场 \(\vec{B}_1, \vec{B}_2, \vec{H}_1, \vec{H}_2\), 则有体系总磁场能: \[W_m = \frac{1}{2}\iiint \vec{B}\cdot \vec{H}\mathrm{d}V = \frac{1}{2}\iiint\mu \left( \vec{H}_1 + \vec{H}_2 \right)^2 \mathrm{d}V = \frac{1}{2}\iiint\mu \left( H_1^2 + H_2^2 + 2 H_1\cdot H_2 \right)\mathrm{d} V\]

非稳衡条件下的安培环路定律: \[\oint_L \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l} = \iint_S \vec{\jmath}\cdot\mathrm{d}\vec{S} + \iint_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\mathrm{d}\vec{S}\]

非稳恒条件下的电磁场方程组(其实稳恒也一样):

介质中电场的高斯定理

\[\oint_S \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_V \rho \mathrm{d}V = \sum q\]

磁场的高斯定理

\[\oint_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0\]

非稳恒场条件下安培环路定律

\[\oint_L \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l} = \iint_S \vec{\jmath}\cdot \mathrm{d}\vec{S} + \iint_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\mathrm{d} \vec{S}\]

法拉第电磁感应定律

\[\oint_l \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - \iint_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d} \vec{S}\]